Legge dei Grandi Numeri

Popolazione, Campione e Valore Atteso

In statistica, la popolazione rappresenta l'insieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno casuale, mentre un campione è un sottoinsieme di dati osservati.
La media della popolazione è il valore atteso teorico, mentre la media campionaria è la media dei valori osservati nel campione.

Legge dei Grandi Numeri

Afferma che, all’aumentare delle osservazioni nel campione, la media campionaria tende a convergere verso la media della popolazione, ovvero il valore atteso.

Esempio

Lancio di un Dado e Calcolo del Valore Atteso Consideriamo il lancio di un dado a sei facce.
L’insieme di tutti i possibili risultati \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) rappresenta la popolazione.
Poiché ogni faccia ha la stessa probabilità \( \frac{1}{6} \), il valore atteso è dato da: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(i) = (1+2+3+4+5+6) \times \frac{1}{6} = 3.5 \] Se effettuiamo pochi lanci (campione di piccole dimensioni), la media dei risultati può differire da 3.5.
Tuttavia, aumentando il numero di lanci, la **media campionaria** si avvicina al valore atteso.

Python per la Simulazione

Il seguente codice mostra come la media campionaria converge al valore atteso all’aumentare dei lanci:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Simulazione del lancio di un dado
num_lanci = 10000
risultati = np.random.randint(1, 7, num_lanci)  # Genera numeri casuali tra 1 e 6
medie_campionarie = np.cumsum(risultati) / np.arange(1, num_lanci + 1)

# Grafico della convergenza
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(medie_campionarie, label="Media Campionaria")
plt.axhline(y=3.5, color='r', linestyle='--', label="Valore Atteso (3.5)")
plt.xlabel("Numero di lanci")
plt.ylabel("Media Campionaria")
plt.title("Convergenza della Media Campionaria al Valore Atteso")
plt.legend()
plt.show()

Conclusione

Inizialmente, la media campionaria oscilla, ma con un numero sufficiente di osservazioni, si stabilizza attorno al **valore atteso** (3.5).
Questo dimostra la **Legge dei Grandi Numeri, ovvero che un campione grande fornisce una stima affidabile della popolazione.